В бытность игроком, Юрий Константинович успел поиграть за такие команды, как "Заря" (Ворошиловград), Крылья Советов (Куйбышев), выступал за команду Группы Советских войск в Германии. В составе ворошиловградской "Зари" Елисеев провел 127 матчей, в которых забил 36 мячей. Также Юрий Елисеев провел 7 матчей за сборную СССР, в которых забил 2 мяча. Среди отличительных особенностей бывшего нападающего "Зари" было умение прекрасно играть головой и грамотно выбирать позицию. После окончания карьеры игрока Елисеев работал и в тренерском штабе луганской команды.

В 1996 году он помогал Виктору Аристову в качестве ассистента, а в 2000-2002 гг. возглавлял "Зарю", когда та выступала во второй украинской лиге. Юрий Елисеев проповедует атакующий стиль игры, доверяя место в составе молодым воспитанникам луганского футбола. СК "Заря" начинает подготовку к чемпионату 10 января. Что касается изменений в составе, то пока этот вопрос остается открытым.